À 10 h 15, le dernier éclair au chocolat de la salle des professeurs disparaît. L’inspecteur Bool interroge quatre suspects. Il dispose de trois indices : l’accès par badge, la connaissance du code du réfrigérateur et la présence d’un grand sac.
Son programme de détection fournit l’équation suivante :
S = (A · B) + (A · B) + (A · B · C)
Ton objectif est de comprendre cette équation, vérifier tous les cas possibles, la simplifier puis trouver le coupable.
🍫 L’affaire du dernier éclair
1
Traduire les trois termes
Avant de calculer, il faut savoir lire une expression logique.
Associe chaque terme à sa traduction. Le signe · signifie ET, le signe + signifie OU et la barre signifie NON.
Terme 1 : A · B
Terme 2 : A · B
Terme 3 : A · B · C
L’aide apparaîtra ici.
2
S’entraîner avec NON, ET et OU
Clique sur une case pour faire défiler : vide → 0 → 1.
Complète ces petites tables. Elles servent de référence pour la grande table de vérité.
| A | A | B | A · B | A + B |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | |||
| 0 | 1 | |||
| 1 | 0 | |||
| 1 | 1 |
Observe séparément chaque opérateur.
3
Compléter la table de vérité de l’enquête
Trois variables donnent 2³ = 8 combinaisons possibles.
Méthode conseillée :
- Commencer par calculer A et B.
- Calculer ensuite chaque produit logique avec l’opérateur ET.
- Terminer par le OU entre les trois termes pour obtenir S.
| A | B | C | B | A | A · B | A · B | A · B · C | S |
|---|
Travaille de gauche à droite et vérifie chaque colonne.
4
Simplifier l’équation logique
Le but est d’obtenir une expression plus courte mais strictement équivalente.
Équation de départ :
S = (A · B) + (A · B) + (A · B · C)4.1 — Mettre A en facteur
Les deux premiers termes possèdent A en commun :
A · B + A · B = A · (B + B)Complète : B + B =
Une variable est forcément vraie ou fausse. L’expression « B OU NON B » est donc toujours vraie.
4.2 — Réduire le premier groupe
Comme A · 1 = A, l’équation devient :
4.3 — Utiliser l’absorption
Propriété : X + X · Y = X + Y
Ici, X = A et Y = B · C. L’expression simplifiée est donc :
Les règles utilisées sont la complémentarité, l’élément neutre et l’absorption.
5
Identifier le coupable
Utilise maintenant l’équation simplifiée S = A + B · C.
| Suspect | A | B | C | B · C | S = A + B · C |
|---|---|---|---|---|---|
| Mme Décimale | 1 | 0 | 1 | ||
| M. Octet | 0 | 1 | 0 | ||
| Mme Binaire | 0 | 1 | 1 | ||
| M. Zéro | 0 | 0 | 1 |
Dernier indice : le journal électronique indique qu’aucun badge n’a été utilisé. On impose donc A = 0. Dans ce cas, l’équation devient S = B · C.
Qui connaît le code ET possède un grand sac ?
Commence par calculer B · C, puis ajoute A avec l’opérateur OU.
🧠 Bilan à retenir
NON
Inverse 0 et 1.
Inverse 0 et 1.
ET
Vaut 1 seulement si tout vaut 1.
Vaut 1 seulement si tout vaut 1.
OU
Vaut 1 si au moins une entrée vaut 1.
Vaut 1 si au moins une entrée vaut 1.
Simplifier
Réduit l’expression sans changer la table de vérité.
Réduit l’expression sans changer la table de vérité.