Quiz SLCI – Inverse, Stabilité, Erreur, Perturbation

📘 Méthodes clés

1. Décomposition en éléments simples

Pour inverser une fraction rationnelle, on la décompose en somme de fractions simples :

Pôle simple :

1/[(p+a)(p+b)] = A/(p+a) + B/(p+b)

Pôle double :

1/[p²(p+a)] = A/p + B/p² + C/(p+a)

Trouver les coefficients : multiplier par le dénominateur de chaque pôle et évaluer en p = −pôle.

Transformées usuelles :

2. Stabilité – condition sur les pôles

Un système est stable si et seulement si tous ses pôles ont une partie réelle strictement négative.

2ème ordre : pôles de 1 + 2ξ/ω₀·p + p²/ω₀²

p = -ξω₀ \pm ω₀\sqrt(ξ²-1)

Stable si ξ > 0. Instable si ξ ≤ 0.

3. Erreur de suivi (précision)

En boucle fermée à retour unitaire :

ε(p) = E(p) - S(p) = E(p) / (1 + H(p))

Erreur statique (échelon E) via théorème val. finale :

ε\infty = lim(p\to0) p\cdotε(p) = E/(1+H(0))

Classe 0 : erreur statique = E/(1+K)

Classe 1 : erreur statique = 0 pour échelon, erreur de traînage = cte pour rampe

4. Perturbation – rejet

Avec une perturbation F(p) en amont du correcteur :

E → [Σ] → [G(p)] → [Σ] ←F(p) ↓ ↓ [H(p)] → S(p) ↑___________|

Pour analyser la perturbation seule (E=0) :

S(p)/F(p) = -H(p)/(1 + G(p)\cdotH(p))

Plus le gain en boucle ouverte est grand, plus la perturbation est rejetée.

5. Réponse temporelle 2ème ordre

Selon la valeur de ξ :

ξ > 1 : 2 pôles réels, régime apériodique
ξ = 1 : 1 pôle double, régime critique
0 < ξ < 1 : pôles complexes, régime pseudo-périodique (oscillations amorties)
ξ = 0 : pôles imaginaires purs, oscillations entretenues → instable

Fréquence d'oscillation amortie : ωd = ω₀√(1−ξ²)

Thème Difficulté

Score

Taux

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